수학에서 가장 기초적이면서도 중요한 개념 중 하나가 바로 등차수열입니다. 등차수열은 일정한 규칙을 따라 나열된 수의 집합을 말하는데, 그 중에서도 합을 구하는 공식은 시험과 실생활 문제에서 자주 등장합니다. 오늘은 등차수열의 기본 개념부터 합 공식, 그리고 직접 풀어볼 수 있는 예시 문제까지 자세히 살펴보겠습니다.
경정 계급 정년, 연봉, 승진 조건, 경감,경위
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등차수열의 개념 이해
등차수열은 첫째항부터 시작하여 일정한 차이를 두고 수가 늘어나거나 줄어드는 수열을 말합니다. 예를 들어, 2, 5, 8, 11, 14, … 이런 식으로 각 항이 이전 항보다 3씩 커지는 경우가 바로 등차수열입니다. 여기서 3을 공차라고 부릅니다. 공차가 양수일 때는 점점 커지고, 음수일 때는 점점 작아집니다. 등차수열의 일반항은 aₙ = a₁ + (n-1)d로 나타낼 수 있습니다. 이 공식에서 a₁은 첫째항, d는 공차, n은 항의 번호를 의미합니다. 이처럼 일정한 규칙성이 있다는 점이 등차수열의 핵심입니다.
등차수열 합 공식
등차수열의 합을 구하는 방법은 여러 가지가 있지만, 가장 대표적인 방식은 가우스의 방법입니다. 어린 시절 가우스가 1부터 100까지의 합을 빠르게 계산한 일화로 유명합니다.
등차수열의 합 공식은 다음과 같습니다.
- Sₙ = n × (a₁ + aₙ) ÷ 2
- 또는 Sₙ = n × [2a₁ + (n-1)d] ÷ 2
여기서 Sₙ은 n번째 항까지의 합, a₁은 첫째항, aₙ은 n번째 항, d는 공차, n은 항의 개수를 의미합니다. 이 공식의 원리는 수열을 거꾸로 적어서 더해보면 간단히 증명할 수 있습니다. 예를 들어, 1 + 2 + 3 + … + 100을 구할 때, 이를 거꾸로 100 + 99 + 98 + … + 1로 놓고 두 식을 더하면 101이 100번 나오므로 전체 합은 5050이 됩니다. 즉, 앞과 뒤를 짝지어 계산하는 원리가 바로 등차수열 합 공식입니다.
등차수열 합 공식의 원리와 활용
등차수열의 합 공식은 단순히 수학 문제 풀이에서만 쓰이지 않습니다. 예를 들어, 계단을 오르내릴 때의 발걸음 수, 매달 일정한 금액을 저축할 때의 누적 금액, 책에서 쪽수를 더할 때 등 생활 속에서 여러 활용 사례가 있습니다. 공식의 핵심은 규칙적인 증가나 감소를 빠르게 계산할 수 있다는 점입니다. 예를 들어, 매달 1만 원씩 늘려가며 저축한다면, 1년 동안의 총 저축액을 구하는 것도 등차수열 합 공식으로 간단히 해결할 수 있습니다. 실제로 규칙적인 반복과 누적 계산을 다룰 때 등차수열 공식은 매우 유용합니다.
예시 문제 3가지
① 문제 1
1부터 50까지의 합을 구하시오.
- 풀이: 첫째항 a₁ = 1, 마지막항 aₙ = 50, 항의 개수 n = 50
- 공식: Sₙ = n × (a₁ + aₙ) ÷ 2 = 50 × (1 + 50) ÷ 2 = 50 × 51 ÷ 2 = 1275
② 문제 2
공차가 5인 등차수열 3, 8, 13, … 의 처음 20개 항의 합을 구하시오.
- 풀이: a₁ = 3, d = 5, n = 20
- 마지막항 aₙ = a₁ + (n-1)d = 3 + (19×5) = 98
- 공식: Sₙ = n × (a₁ + aₙ) ÷ 2 = 20 × (3+98) ÷ 2 = 20 × 101 ÷ 2 = 1010
③ 문제 3
첫째항이 100, 공차가 -2인 등차수열에서 처음 25개 항의 합을 구하시오.
- 풀이: a₁ = 100, d = -2, n = 25
- 마지막항 aₙ = 100 + (25-1)(-2) = 52
- 공식: Sₙ = 25 × (100+52) ÷ 2 = 25 × 152 ÷ 2 = 25 × 76 = 1900
이처럼 규칙을 정확히 찾고 공식을 적용하면 어렵지 않게 풀 수 있습니다.
정리와 비교
| 구분 | 공식 | 특징 |
|---|---|---|
| 일반항 | aₙ = a₁ + (n-1)d | 특정 항의 값을 구할 때 사용 |
| 합 공식 (형태 1) | Sₙ = n × (a₁ + aₙ) ÷ 2 | 첫째항과 마지막항을 알 때 유용 |
| 합 공식 (형태 2) | Sₙ = n × [2a₁ + (n-1)d] ÷ 2 | 공차를 통해 마지막항을 구할 때 활용 |
위 표처럼 상황에 따라 적절한 공식을 선택하는 것이 중요합니다. 시험 문제에서는 종종 첫째항과 마지막항만 주어지거나, 공차를 주고 마지막항을 구하게 만든 뒤 합을 계산하도록 유도합니다.
결론
등차수열의 합 공식은 규칙적인 수열의 합을 빠르고 정확하게 계산할 수 있게 해주는 강력한 도구입니다. 가우스의 일화처럼 단순한 아이디어에서 출발했지만, 오늘날 수학 문제 풀이뿐만 아니라 금융, 과학, 일상생활까지 활용 범위가 넓습니다. 핵심은 규칙을 찾고 적절한 공식을 적용하는 것입니다. 이번 글에서 소개한 개념과 예시 문제 3가지를 통해 등차수열 합 공식을 충분히 이해하고, 다양한 문제 상황에서도 응용할 수 있을 것입니다.
등차수열 합 공식 FAQ
Q. 등차수열 합 공식은 어떻게 되나요?
A. 대표 공식은 Sₙ = n × (a₁ + aₙ) ÷ 2 또는 Sₙ = n × [2a₁ + (n-1)d] ÷ 2입니다.
Q. 등차수열 합 공식은 어떻게 증명되나요?
A. 수열을 거꾸로 적어 더했을 때 같은 수가 반복적으로 나오므로 이를 이용해 쉽게 증명할 수 있습니다.
Q. 등차수열 합 공식은 어디에 활용되나요?
A. 시험 문제 풀이뿐 아니라 저축액 계산, 계단 수 세기, 반복적 합산 등 일상적인 누적 계산에 활용됩니다.
